Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior de 90º (un ángulo recto). Los lados del ángulo recto son perpendiculares y se llaman catetos. La hipotenusa es el lado mayor, enfrentado al ángulo recto. Si lo dibujamos con base en uno de los catetos aparece siempre como un lado oblicuo, en tanto que un cateto es horizontal y el otro es vertical. Si seguimos la convención de llamar a la hipotenusa a, b al cateto horizontal y c al cateto vertical, la expresión del teorema sería:
a^2 = b^2 + c^2
Para los griegos, cuadrado era el cuadrilátero con sus ángulos rectos y lados congruentes, no era multiplicar a un número por sí mismo.
Convenimos en que los ángulos toman el nombre del lado opuesto. A es el ángulo recto, B es el ángulo adyacente a la base y C es el ángulo opuesto a la base . Como la suma de los 3 ángulos en un triángulo da siempre 180º (otro hallazgo pitagórico), si uno mide 90º los otros 2 ángulos agudos tienen que sumar otros 90º entre sí. Cuando 2 ángulos suman 90º se dice que son complementarios.
Así el complementario de 60º es 30º porque 60º + 30º = 90º y el complementario de 50º es 40º.
Se dice que este teorema fue descubierto en la Antigüedad por Pitágoras de Samos (isla griega del Asia Menor) que vivió casi cien años (entre 580 a. C. y 495 a.C.), y terminó sus días en Crotona, una colonia griega del sur de Italia (la Grecia Magna). Fue el primer filósofo dedicado enteramente a las matemáticas. Pero en realidad no se sabe si fueron sus seguidores de la escuela pitagórica.
Así el complementario de 60º es 30º porque 60º + 30º = 90º y el complementario de 50º es 40º.
Se dice que este teorema fue descubierto en la Antigüedad por Pitágoras de Samos (isla griega del Asia Menor) que vivió casi cien años (entre 580 a. C. y 495 a.C.), y terminó sus días en Crotona, una colonia griega del sur de Italia (la Grecia Magna). Fue el primer filósofo dedicado enteramente a las matemáticas. Pero en realidad no se sabe si fueron sus seguidores de la escuela pitagórica.
Números irracionales
Uno de los descubrimientos que fueron una consecuencia del Teorema de Pitágoras es el de los números irracionales, es decir números que no pueden representarse como fracciones de números enteros.
Al tratar de hallar la hipotenusa de un triángulo con catetos iguales a la unidad se concluyó que la hipotenusa era igual a la raíz cuadrada de 2.
1^2 + 1^2 = 2 = (raíz (2))^2
raíz (2) = 1.414213562...
Luego se demostró que ese número no era racional (fraccionario). Tiene infinitos decimales que no siguen una sucesión que, cada tanto, se repita. Lo mismo sucede con todas las raíces que no dan un resultado entero como la raíz de 3, de 5, de 6, de 7, etc. Esto derribó el fundamento de lo que creían los pitagóricos, que los números eran exactos y precisos.
Esta cuestión también surge cuando queremos medir la diagonal de un cuadrado de lado unitario o por ejemplo, la diagonal de un rectángulo de 1x2 que divide al cuadrilátero en dos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es la diagonal. Por Pitágoras la diagonal es igual a 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = (raíz (5))^2, o sea raíz (5).
De ahí que Pitágoras creyera que eran lados inconmensurables. Después se hallarían métodos para aproximarse tanto como uno quisiera.
Uno de los descubrimientos que fueron una consecuencia del Teorema de Pitágoras es el de los números irracionales, es decir números que no pueden representarse como fracciones de números enteros.
Al tratar de hallar la hipotenusa de un triángulo con catetos iguales a la unidad se concluyó que la hipotenusa era igual a la raíz cuadrada de 2.
1^2 + 1^2 = 2 = (raíz (2))^2
raíz (2) = 1.414213562...
Luego se demostró que ese número no era racional (fraccionario). Tiene infinitos decimales que no siguen una sucesión que, cada tanto, se repita. Lo mismo sucede con todas las raíces que no dan un resultado entero como la raíz de 3, de 5, de 6, de 7, etc. Esto derribó el fundamento de lo que creían los pitagóricos, que los números eran exactos y precisos.
Esta cuestión también surge cuando queremos medir la diagonal de un cuadrado de lado unitario o por ejemplo, la diagonal de un rectángulo de 1x2 que divide al cuadrilátero en dos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es la diagonal. Por Pitágoras la diagonal es igual a 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = (raíz (5))^2, o sea raíz (5).
De ahí que Pitágoras creyera que eran lados inconmensurables. Después se hallarían métodos para aproximarse tanto como uno quisiera.
Representación de números irracionales
Construcción utilizando el teorema de Pitágoras para representar números irracionales.
- Observa los dos primeros ejemplos.
- Para las construcciones que te piden:
- Dibuja el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida el valor que se pide representar. Busca dos número naturales, y , tal que la suma de sus cuadrados de como resultado el radicando. Considera uno de los vértices del triángulo en el punto (0,0), otro vértice en el punto y el tercer vértice en el punto . Para esto necesitas el botón NUEVO PUNTO.
- Dibuja los lados del triángulo uniendo dos vértices. Para ello utiliza el botón SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS.
- Dibuja la circunferencia con centro en (0,0) que pase por el vértice que no está sobre el eje . Para ello utiliza el botón COMPÁS.
- El número pedido queda determinado por la intersección entre la circunferencia y el eje . Pera ello utiliza el botón INTERSECCIÓN ENTRE DOS OBJETOS.
- Seleccionando "Solución" puedes comprobar tu respuesta.
- Antes de realizar la siguiente construcción borra todo lo que has hecho.
LOS MISTERIOSOS NÚMEROS IRRACIONALES
En el siglo V a.C., en las costas e islas que baña el mar Egeo y ahora corresponden a Grecia y Turquía se produce una verdadera revolución en el desarrollo de la Matemática. Por entonces suenan nombres como: Partenón, Erecteion, Templo de Poseidón en Cabo Sunion, ... Pericles, Esquilo, Hipócrates, Sócrates, Platón, …. Vamos, que todos los campos estaban sembrados.
En la isla de Samos vive Pitágoras, entre profeta y místico medio siglo después de que cerca de allí viviera Tales (en Mileto). Funda una orden de tipo comunal y secreto con un código de conducta muy estricto. Esto unido a que se ha perdido mucha documentación (incluida una biografía atribuida a Aristóteles) hace que lo que se sepa de ellos sea poco y esté poco fundado. Sabemos que el famoso Teorema de Pitágorasya era conocido por los babilonios (los abuelos de los irakíes) se cree que lleva su nombre por que encontró una demostración, pero tampoco esto es seguro.
La escuela pitagórica tocaba temas de toda naturaleza: moral, costumbres, ideología (conservadora), …. Mostraban confianza en la prosecución de los estudios filosóficos y matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Se dice que el lema de la escuela pitagórica era “Todo es número”.
En los Diálogos de Platón se nos cuenta la conmoción que supuso para la comunidad un descubrimiento que demolía las bases de la fe pitagórica en los números enteros. Eso parece que ocurrió a mediados del siglo V a.C. y se atribuye a Hipaso de Metaponto, pero todos estos datos están muy poco fundados. Se dice que el miembro de la orden que lo divulgó murió ahogado en el Mediterráneo al caerse del barco durante una tormenta.
Historia:
Pitágoras (580-500 a C) nació en la isla de Samos, que era una colonia griega sobre el mar Egeo. Se dice que aprendió matemática en la juventud, durante sus viajes por Egipto Babilonia. Más tarde se trasladó a la ciudad de Crotona ( en el sur de Italia) y fundó su famosa escuela Pitagórica.
Los pitagóricos tuvieron una profunda veneración por el número y por sus asombradas relaciones. Entre éstas ultimas, el teorema de Pitágoras ocupa, aún hoy, un lugar de privilegio en el mundo de la matemática.
Curiosidades: Al teorema de Pitágoras se lo consideró durante la Edad Media como
"El puente del asno", porque se usaba para probar el talento matemático de
una persona. Al estudiante que no comprendía el teorema o su demostración, se lo consideraba inepto para la matemática.
Construcción utilizando el teorema de Pitágoras para representar números irracionales.
- Observa los dos primeros ejemplos.
- Para las construcciones que te piden:
- Dibuja el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida el valor que se pide representar. Busca dos número naturales, y , tal que la suma de sus cuadrados de como resultado el radicando. Considera uno de los vértices del triángulo en el punto (0,0), otro vértice en el punto y el tercer vértice en el punto . Para esto necesitas el botón NUEVO PUNTO.
- Dibuja los lados del triángulo uniendo dos vértices. Para ello utiliza el botón SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS.
- Dibuja la circunferencia con centro en (0,0) que pase por el vértice que no está sobre el eje . Para ello utiliza el botón COMPÁS.
- El número pedido queda determinado por la intersección entre la circunferencia y el eje . Pera ello utiliza el botón INTERSECCIÓN ENTRE DOS OBJETOS.
- Seleccionando "Solución" puedes comprobar tu respuesta.
- Antes de realizar la siguiente construcción borra todo lo que has hecho.
- Observa los dos primeros ejemplos.
- Para las construcciones que te piden:
- Dibuja el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida el valor que se pide representar. Busca dos número naturales, y , tal que la suma de sus cuadrados de como resultado el radicando. Considera uno de los vértices del triángulo en el punto (0,0), otro vértice en el punto y el tercer vértice en el punto . Para esto necesitas el botón NUEVO PUNTO.
- Dibuja los lados del triángulo uniendo dos vértices. Para ello utiliza el botón SEGMENTO ENTRE DOS PUNTOS.
- Dibuja la circunferencia con centro en (0,0) que pase por el vértice que no está sobre el eje . Para ello utiliza el botón COMPÁS.
- El número pedido queda determinado por la intersección entre la circunferencia y el eje . Pera ello utiliza el botón INTERSECCIÓN ENTRE DOS OBJETOS.
- Seleccionando "Solución" puedes comprobar tu respuesta.
- Antes de realizar la siguiente construcción borra todo lo que has hecho.
LOS MISTERIOSOS NÚMEROS IRRACIONALES
En el siglo V a.C., en las costas e islas que baña el mar Egeo y ahora corresponden a Grecia y Turquía se produce una verdadera revolución en el desarrollo de la Matemática. Por entonces suenan nombres como: Partenón, Erecteion, Templo de Poseidón en Cabo Sunion, ... Pericles, Esquilo, Hipócrates, Sócrates, Platón, …. Vamos, que todos los campos estaban sembrados.
En la isla de Samos vive Pitágoras, entre profeta y místico medio siglo después de que cerca de allí viviera Tales (en Mileto). Funda una orden de tipo comunal y secreto con un código de conducta muy estricto. Esto unido a que se ha perdido mucha documentación (incluida una biografía atribuida a Aristóteles) hace que lo que se sepa de ellos sea poco y esté poco fundado. Sabemos que el famoso Teorema de Pitágorasya era conocido por los babilonios (los abuelos de los irakíes) se cree que lleva su nombre por que encontró una demostración, pero tampoco esto es seguro.
La escuela pitagórica tocaba temas de toda naturaleza: moral, costumbres, ideología (conservadora), …. Mostraban confianza en la prosecución de los estudios filosóficos y matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Se dice que el lema de la escuela pitagórica era “Todo es número”.
En los Diálogos de Platón se nos cuenta la conmoción que supuso para la comunidad un descubrimiento que demolía las bases de la fe pitagórica en los números enteros. Eso parece que ocurrió a mediados del siglo V a.C. y se atribuye a Hipaso de Metaponto, pero todos estos datos están muy poco fundados. Se dice que el miembro de la orden que lo divulgó murió ahogado en el Mediterráneo al caerse del barco durante una tormenta.
Historia:
Pitágoras (580-500 a C) nació en la isla de Samos, que era una colonia griega sobre el mar Egeo. Se dice que aprendió matemática en la juventud, durante sus viajes por Egipto Babilonia. Más tarde se trasladó a la ciudad de Crotona ( en el sur de Italia) y fundó su famosa escuela Pitagórica.
Los pitagóricos tuvieron una profunda veneración por el número y por sus asombradas relaciones. Entre éstas ultimas, el teorema de Pitágoras ocupa, aún hoy, un lugar de privilegio en el mundo de la matemática.
Curiosidades: Al teorema de Pitágoras se lo consideró durante la Edad Media como
"El puente del asno", porque se usaba para probar el talento matemático de
una persona. Al estudiante que no comprendía el teorema o su demostración, se lo consideraba inepto para la matemática.
